问题: 求证
已知a，b，C∈R，若对于x∈[-1，1]，有|ax^2+bx+c|≤1,求证::当x∈[-1,1]时,|cx^2-bx+a|≤2
解答:
令f(x)=ax^2+bx+c
|ax^2+bx+c|≤1
|f(0)|=|c|≤1 .............(1)
|f(1)|=|c+b+a|≤1 .......(2)
|f(-1)|=|c-b+a|≤1 .....(3)
因为
|cx^2-bx+a|=|(cx^2-c)+c+bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a|
当x∈[-1，1]，
|x^2-1|≤1
由(1)
===> |c|*|x^2-1|≤1
c+bx+a 在x∈[-1，1]上单调
c+bx+a∈[c-b+a,c+b+a]
|c-b+a|≤|c+bx+a|≤|c+b+a|
由(2),(3)====>|c+bx+a|≤1
所以
|cx^2-bx+a|≤|c|*|x^2-1|+|c+bx+a|≤1+1=2
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