问题: shuxue
设ｆ（ｘ）＝（２ｘ＾２+１），且ａ，ｂ同号，ａ+ｂ＝１，证明：对任意实数ｐ，ｑ恒有ａｆ（ｐ）+ｂｆ（ｑ）≥ｆ（ａｐ+ｂｑ）成立，并说明等号成立的条件
解答:
a、b同号，a+b=1
则0<a<1 0<b<1
a*f(p)+b*f(q)-f(ap+bq)
=a*(2p^2+1)+b*(2q^2+1)-[2(ap+bq)^2+1]
=2(ap^2+bq^2)+(a+b)-2(ap+bq)^2-1
=2*[(ap^2+bq^2)-(ap+bq)^2)]
=2*[ap^2+bq^2-a^2p^2-b^2q^2-2abpq]
=2*[ap^2(1-a)+bq^2(1-b)-2abpq]
=2*[abp^2+abq^2-2abpq]
=2ab*(p-q)^2≥0
所以a*f(p)+b*f(q)≥f(ap+bq)
2ab*(p-q)^2≥0
因为a>0 b>0 所以等号成立的条件是p=q
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