若a、b、c是△ABC的三边长，且方程x^2+2ax+b^2=0与x=2cx-b^2=0有一公公根，则△ABC是什么三角形？

必要性
设这个公共根为t,则有:
t^+2at+b^=0……①
t^+2ct-b^=0……②
由①+②得:
t(t+a+c)=0
t=0或t=-a-c……③
由①-②得:
t(a-c)+b^=0
若a-c=0得:b=0.不适合三角形ABC三边.
∴a≠c∴t=b^/(c-a)……④
由③,④得:
t=0=b^/(c).b=0,不适合三角形ABC三边.
t=-a-c=b^/(c-a).即:a^-c^=b^
充分性:
当a^-c^=b^
方程x^+2ax+b^=0,x^+2ax+a^-c^=0,(x+a)^=c^.∴x=-a-c或x=-a+c
方程x^+2cx-b^=0,x^+2cx-a^+c^=0,(x+c)^=a^.∴x=-a-c或x=a-c
二方程x^+2ax+b^=0与x^+2cx-b^=0有公共根x=-a-c
∴关于X的方程x^+2ax+b^=0与x^+2cx-b^=0有公共根的充要条件是
△ABC是直角三角形且∠A=90°