设t=cosx,则原不等式可化为
t²-2at+a²+2a-3>0,t∈[-1,1].
因为函数f(t)=(t-a)²+2a-3,所以只需讨论对该函数的图像的对称轴t=a相对于区间[-1,1]的三种位置分别讨论.
(1)当a≤-1时,函数f(t)在[-1,1]上是增函数,此时最小值为f(-1).
所以a≤-1 且 f(-1)=a²+4a-2>0.
解得a<-2-√6.
(2)当-1<a<1时,函数f(t)在[-1,1]上的最小值为f(a).所以,
-1<a<1 且 f(a)=2a-3>0.
此时,a的值不存在.
(3)当a≥1时,函数f(t)在[-1,1]上是减函数,此时最小值为f(1).所以,
a≥1 且 f(1)=a²-2>0.
解得a>√2.
因此,满足条件的a的取值范围是a<-2-√6 或 a>√2.
