问题: 数列题
已知两个等差数列an,bn的前n项和分别为An,Bn,且An/Bn=(7n+45)/(n+3),则使得an/bn为整数n的个数是几个？
解答:
设{an},{bn}公差分别是d1,d2
当n=1时：a1/b1=A1/B1=13，a1=13b1 (1)
当n=2时：A2/B2=(2a1+d1)/(2b1+d2)=59/5
12b1+5d1=59d2 (2)
当n=3时：A3/B3=(3a1+3d1)/(3b1+3d2)=11
2b1+d1=11d2 (3)
6(3)-(2), d1=7d2
代入(3), b1=2d2
代入(1)，a1=26d2
an=a1+(n-1)d1=26d2+7(n-1)d2=(7n+19)d2
bn=b1+(n-1)d2=2d2+(n-1)d2=(n+1)d2
an/bn=(7n+19)/(n+1)=7+12/(n+1)
若要an/bn为整数，只要12/(n+1)为整数，且n>0
令n+1=2,3,4,6,12
n=1,2,3,5,11
正整数n的个数是5个.
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