讨论园系x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k为任何不为-1的实数)中任意不同的两个园的位置关系。

将圆系方程化成(x+k)²+[y+(2k+5)]²=5(k+1)²,其圆心为(-k,-2k-5),
半径为√|k+1|。设当k取两个不同的值k1,k2(k1>k2)时，圆系中两圆的圆心分别为(-k1,-2k1-5)和(-k2,-2k2-5)，半径分别为：
√|k1+1|,√|k2+1|。为讨论两圆的位置关系，可以研究两圆圆心距d与两圆半径和，差的关系。
d=√[(k1-k2)²+4(k1-k2)²]=√5|k1-k2|=√5|(k1+1)-(k2+1)|,
即 d=√5|(k1+1)+(k2+1)|,当k1+1与kx+1异号时，
d=√5|(k1+1)-(k2+1)|,当k1+1与kx+1同号时。
故圆系中任意两圆的位置关系为外切或内切。
如果将圆系方程化为2(x+2y+5)k+(x²+y²+10y+20)=0。
由x+2y+5=0..x²+y²+10y+20=0..解得x=1,y=-3,即圆系中的各圆都通过定点(1,-3)。
再注意到圆系中圆心都在直线y=2x-5上，那么由上述讨论可以知道，圆系中任意两圆的圆心都在直线y=2x-5，且互相外切或内切，
切点为(1,-3)。

晕，打了这么多。。。