1设a,b,c为三角形的三边长，求证：x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx-b^2=0有公共根的充要条件是角A=90度

设a,b,c为三角形的三边长，求证：x^2+2ax+b^2=0 与 x^2+2cx-b^2=0有公共根的充要条件是角A=90度

充分性：当A=90度时，b^2 = a^2 - c^2 ，此时两个方程变为
x^2 + 2ax + a^2-c^2 = 0 与 x^2 + 2cx + c^2-a^2 = 0
显然它们有公共根 x = -(a+c)　（充分性证毕）

必要性：当两个方程有公共根x时，
两个相减，得　2ax - 2cx + 2b^2 = 0
即　(a-c)x = -b^2
显然 a≠c（若a = c ， 则 b^2 = 0 ，矛盾）
所以公共根是 x = b^2 /(c-a)
代回原第一个方程得 b^4/(c-a)^2 + 2ab^2/(c-a) + b^2 = 0
整理得 b^2 + 2a(c-a) + (c-a)^2 = 0
即 b^2 - a^2 + c^2 = 0
显然得到Ａ=90度　（必要性证毕）

所以　....的充要条件是....