已知椭圆x平方/2+y平方/4=1与射线y=根号2乘于x(x大于等于0）交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，他们与椭圆的另一个交点为B和点C.(1)求证：直线BC的斜率为定值，并求出这个定值。（2）求三角形ABC的面积的最大值

解：
（1）
由椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=√2x(x≥0）求得点A坐标为(1,√2).
设直线AB的斜率为k,则直线AC的斜率为-k,它们的点斜式方程为：
AB: y-√2=k(x-1)
AC: y-√2=-k(x-1)
与椭圆x^2/2+y^2/4=1分别联立，得
AB与椭圆: (k^2+2)x^2+2k(√2-k)+k^2-2√2k-2
AC与椭圆: (k^2+2)x^2-2k(√2-k)+k^2+2√2k-2
由韦达定理，分别求得:
B点的x坐标，xB=(k^2-2√2k-2)/(k^2+2)
C点的x坐标，xC=(k^2+2√2k-2)/(k^2+2)
则
xB-xC=-4√2k/(k^2+2)
xB+xC-2=-8/(k^2+2)
所以直线BC的斜率K为
K=(yB-yC)/(xB-xC)
=(xB+xC-2)/(xB-xC)
=[-8/(k^2+2)]/[-4√2k/(k^2+2)]
=√2
即直线BC的斜率为定值√2

（2）
对于点A(1,√2),B(xB,yB),C(xC,yC)组成的三角形ABC,其面积S为:
S=[(xB-1)(yC-√2)-(xC-1)(yB-√2)]/2
而
xB-1=-2(√2k+2)/(k^2+2)
xC-1=2(√2k-2)/(k^2+2)
yB-√2=k(xB-1)
yC-√2=-k(xC-1)

代入S，得
S=-k(xB-1)(xC-1)
=