问题: 函数专项练习<7>
二次函数f(x)在x=(t+2)/2时取得最小值 -t^/4,(t>0).且f(1)=0
1)求f(x)表达式
2)任意x都满足f(x)g(x)+anx+bn=x^(n+1),(n是正整数)
其中g(x)为多项式,试用t表示an和bn
解答:
1) ∵ 二次函数f(x)在x=(t+2)/2时取得最小值 -t^/4,(t>0).
∴ f(x)=a[x-(t+2)/2]^-t^/4,且a>0.由f(1)=0，得a=1,
∴ f(x)=[x-(t+2)/2]^-t^/4=x^-(t+2)x+(t+1),(t>0)
2) 方程f(x)=x^-(t+2)x+(t+1)=0的根为x1=1,x2=t+1, ∴ f(1)=f(t+1)=0, 于是 An+Bn=1…①, (t+1)An+Bn=(t+1)^(n+1)…②,解得
An=[(t+1)^(n+1)]/t, Bn=[(t+1)-(t+1)^(n+1)]/t,(t>0).
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